Kvjat je leta 2012 osvojil prvenstvo Formule Renault 2.0 Alps, leta 2013 pa GP3. Na zadnjih dveh dirkah sezone 2013 je bil tretji dirkač moštva Toro Rosso, s katerim je v sezoni 2014 debitiral v Svetovnem prvenstvu Formule 1. Z osmimi prvenstvenimi točkami je osvojil petnajsto mesto v prvenstvu s tremi devetimi in dvema desetima mestoma. Pred sezono 2015 je prestopil v Red Bull Racing, na dirki za Veliko nagrado Madžarske je dosegel svojo prvo uvrstitev na stopničke z drugim mestom. Sredi sezone 2016 se je vrnil v Toro Rosso.

2017 je odpeljal 16 dirk za Toro Rosso, kjer ga je na koncu sezone zaradi slabih predstav in napak zamenjal Brandon Hartley. Kvijat je 2018 služboval kot razvojni dirkač Ferrarija, potem pa se je Scuderia Toro Rosso s Ferrarijem v času VN Belgije 2018 pogodila o vrnitvi Rusa v ekipo Toro Rosso.